TRIGONOMETRI

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Pada materi ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut kemudian menggunakan rumus tersebut dalam menyelesaikan soal-soal yang

Penguasaan materi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat membantu dalam mempelajari materi ini.

Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :

sin (90° - θ) = cos θ

cos (90° - θ) = sin θ

sin (180° - θ) = cos θ

cos (180° - θ) = -sin θ

sin (-θ) = -sin θ

cos (-θ) = cos θ

sin (α + β) dan sin (α - β)

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.

∠ POS = α + β

∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α

Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut

Dari segitiga OPS diperoleh

sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis

PS = QT + PR, akibatnya

sin (α + β) = QT + PR     .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh

PQ = sin β

OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh

sin α = 

Q

T

O

Q

QT = sin α . OQ

QT = sin α . cos β     ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh

cos α = 

P

R

P

Q

PR = cos α . PQ

PR = cos α . sin β     ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan

sin (α + β) = QT + PR

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka

sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Contoh 

Tentukan nilai eksak dari sin 75°

Jawab :

sin 75° = sin (30° + 45°)

sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°

sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2

sin 75° = ¼√2 + ¼√6

sin 75° = ¼(√2 + √6)

cos (α + β) dan cos (α - β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) dapat kita tentukan dengan cara yang hampir sama seperti rumus sinus diatas. Namun, karena rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih mudah jika kita gunakan konsep sudut relasi kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° - (α + β))

cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)

cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka

cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)

cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)

cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β 

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Latihan 1

Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α adalah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α - β) !

Jawab :

α lancip berarti α berada di kuadran I.

β tumpul berarti β berada di kuadran II.

cos α = 3/5  →  sin α = 4/5

sin α bernilai positif karena α berada di kuadran I.

sin β = 5/13  →  cos β = -12/13

cos β bernilai negatif karena β berada di kuadran II.

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

sin (α - β) = 4/5 . (-12/13) - 3/5 . 5/13

sin (α - β) = -48/65 - 15/65

sin (α - β) = -63/65Pi

Latihan 2

Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !

Jawab :

Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°

cos (P + Q) = 2/3

cos (90° + Q) = 2/3

cos 90° cos Q - sin 90° sin Q = 2/3

0 . cos Q - 1 . sin Q = 2/3

0 - sin Q = 2/3

sin Q = -2/3

P + Q + R = 180°

90° + Q + R = 180°

R = 90° - Q

cos R = cos (90° - Q) = sin Q

diperoleh cos R = sin Q = -2/3

Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3

Latihan 3

Diketahui A - B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !

Jawab :

Karena A - B = 30°, maka

sin (A - B) = sin 30° = 1/2

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

1/2 = 7/10 - cos A sin B

cos A sin B = 7/10 - 1/2 = 1/5

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A + B) = 7/10 + 1/5

sin (A + B) = 9/10

Jadi, sin (A + B) = 9/10